Математика и диалектика

Spread the love
  •  
  •  
  •  
  •  
  • 14
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
    14
    Поделились

  • Статья академика АН СССР, выдающегося советского математика А.Д. Александрова, написанная по случаю столетия В.И. Ленина.
А.Д. Александров (1912-1999)

Текст приводится по публикации в Сибирском математическом журнале, т. 21, №2, 1970 г., издательство «Наука», М.

МАТЕМАТИКА И ДИАЛЕКТИКА§ 1. Математика в ее развитии

Действительность предстоит перед нами в разнообразии ее элементов, связанных многообразными отношениями. В самом общем смысле совокупность или, как говорили прежде, — многообразие каких-либо элементов с какими-либо отношениями называется структурой. Наука выделяет и ис­следует более или менее определенные структуры той или иной степени общности. Физика выделяется среди других наук тем, что исследует наи­более общие взаимосвязи и соответственно структуры природы. Первой общей структурой, ставшей предметом практического овладения и отобра­жения в первоначальных абстракциях, была структура конечных множеств с их отношениями включения, суммирования и др. и соответственно «арифметическая структура» — натуральные числа с их отношениями. Формирование понятия о все бóльших и бóльших числах было чрезвычайно длительным и лишь в итоге достаточно сложного процесса привело к ясному представлению о неограниченной продолжаемости натурального ряда. Здесь арифметика окончательно вышла за пределы данного в область по­тенциально возможного и превратилась в теорию чисел, отделившуюся от практической науки счета. Из физики конечных множеств выросла мате­матическая арифметика.

Одновременно шло практическое и теоретическое овладение другой об­щей структурой — «геометрической», охватывающей пространственные от­ношения тел и их частей и, тем самым, их пространственные формы. Гео­метрия складывается как эмпирическая наука и по своему первоначаль­ному содержанию несомненно относится к физике. Только долгий и слож­ный путь развития привел к превращению геометрии в математическую науку с ее логической связью — доказательствами утверждений и отвле­чением ее предмета от исходного содержания. Эмпирическое основание элиминировалось; ссылка на опыт исключается из числа аргументов матема­тической геометрии, хотя и сохраняется в идеализированной форме обра­щения к чертежу и в таких стандартных оборотах, как «проведем прямую AB», «наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁» и т. п.

Разрыв с эмпирией был резко обозначен открытием несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. Это открытие было логическим выводом, исходящим из теоремы Пифагора, и хотя последняя была первоначально вовсе не теоремой, а геометрическим фактом, эмпирически установленным физическим законом, тем не менее логический вывод привел к результату, из опыта не выводимому и в точном смысле не имеющему прямого эмпи­рического содержания. Если раньше еще можно было думать, что неточ­ность связана с ограниченностью наших возможностей измерения, то те­перь известно, что реальные тела не имеют точных размеров, и есть все основания полагать, что всякая физическая величина за некоторыми пре­делами уточнения теряет свой смысл, количественное уточнение влечет переход к другому качеству; это во всяком случае несомненно для всех макроскопических величин.

Именно в указанных двух пунктах разрыва с эмпирическими данными — в представлении о неограниченном ряде чисел и в открытии несоизмеримых отрезков — наиболее ясно обозначилось формирование матема­тики в ее существенном отличии от физики, которой она принадлежала по своему происхождению и первоначальному содержанию. Логическая связь выводов, касающихся идеализированных объектов, характерна для всякой развитой науки. Выводы одних законов физики из других осуществляются не только применением математического аппарата; специфический для физики прием мысленных экспериментов, широко примененный еще в меха­нике и термодинамике (например, цикл Карно), в принципе не отличается от мысленного эксперимента геометрии, состоящего в проведении отрезков и дуг окружности, наложении треугольников и др. Точно так же в физике рассматриваются такие идеализированные объекты, как материальные точки, абсолютно черное тело и др. Однако всякая нематематическая теория подразумевает проверку опытом, и соответственно его показаниям изменяются применяемые понятия. Особенность же математики состоит в том, что она абсолютизирует свои абстракции; ее понятия, возникнув и определившись, закрепляются и рассматриваются как данные, сравнение же их с действительностью является задачей не самой математики, а ее приложений. Предметом математики служат сами идеализированные объекты, «чистые формы», числа, а не совокупности вещей, геометрические фигуры, а не тела. Соответственно математика, как она сложилась еще в древней Греции, определяется как наука о количественных отношениях и о пространственных формах, взятых в идеализированном, отвлеченном от содержания виде. Ее чисто дедуктивный метод является неизбежным следствием такой фиксации ее предмета, поскольку идеализированные объекты тривиальным образом не могут быть предметом опыта.

Однако нет ничего абсолютно абсолютного, всякое абсолютное также и относительно. Абсолютизация абстракций математики имеет свои границы, выход за которые в самой математике порождает трудности, требующие уточнения, развития этих абстракций и способов оперирования с ними. Тем не менее исходные ее абстракции были выделены столь хорошо что указанные трудности не возникали очень долго, так долго, что эти абстракции представлялись как абсолютные. Не они сверялись с действи­тельностью, но эта последняя подчинялась им.

Физика нового времени в ее представлении об абсолютном пространст­ве, мыслившемся как само по себе евклидово, приняла это понятие из гео­метрии. А позже Кант придал этому пространству статус априорной формы созерцания. Словом, источник геометрии, ее возникновение как второй, вслед за физикой конечных множеств, главы физики было основательно забыто, хотя грекам оно было хорошо известно. Понадобился гений Лобачевского, чтобы вернуться к пониманию подлинной связи геометрии с фи­зикой и найти в этом возврате основание для совершенно нового и еще более абстрактного ее развития.

Развитие математики не сводится к установлению новых теорем, изо­бретению новых методов и определению понятий в круге уже сформиро­вавшихся. Оно содержит также выработку существенно новых понятий, включение новых предметов и построение принципиально новых теорий. Такие наиболее существенные изменения обозначали этапы в развитии математики, как, например, этап, определенный возникновением анализа, или этап перехода от греческой геометрии к развитию алгебры, имевший важнейший источник в Индии. Однако как ни были существенны эти из­менения, математика оставалась наукой о количественных и пространст­венных отношениях и формах действительности, хотя и исследуемых в виде абсолютизируемых абстракций. «Переменные» представлялись не бо­лее как идеализированными образами реальных переменных величин фи­зики, так же как функции — идеализированными образами реальных зави­симостей. Кривые и поверхности дифференциальной геометрии были та­кими же идеализированными образами реальных нитей и поверхностей, как, например, абсолютно твердое тело или материальные точки в механи­ке. Правда, появившиеся еще в XVI в. комплексные числа оставались мни­мыми, реальный смысл их был непонятен, но они не играли существенной роли и выступали как «чудесное» пособие для решения некоторых веще­ственных задач.

Новое развитие математики с начала XIX в. было вызвано главным об­разом потребностью решить ее собственные проблемы, приобретшие, мож­но сказать, характер загадок. Первой по времени ее появления была загадка постулата Евклида, напрасные попытки доказательства которого тянулись уже две тысячи лет. Решение этой загадки было дано утвержде­нием Лобачевского, что выводы из отрицания V постулата представляют собой возможную или, как он сам говорил, «воображаемую» геометрию. Решение было завершено последовавшим через 40 лет доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского. Вместе с другими новыми «геометриями» это превратило геометрию в науку о разного рода простран­ствах. Общее понятие пространства, включая и функциональные, было явно выражено Риманом в его работе «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии».

Второй загадкой была загадка мнимых чисел — проблема обоснования их применения. Ее решение, данное определением комплексной плоскости и сделавшее мнимые числа «действительными», повлекло развитие теории функций комплексной переменной и образование понятия о гиперкомплексных числах. Третьей загадкой была проблема решения алгебраических уравнений; она должна была представляться загадочной потому, что хотя уравнения 3-й и 4-й степени были решены еще в XVI в., все усилия и грандиозные успехи математики не помогли пойти здесь дальше. Решение этой проблемы в теории Галуа, повлекшее разработку теории групп, дало, вместе с гиперкомплексными числами, толчок совершенно новому разви­тию алгебры, превратившему ее из учения о формальных действиях с чис­лами и решении уравнений в науку о разнообразных алгебраических си­стемах. Наконец, четвертой была загадка, лежавшая в самом анализе, в по­нимании самих его основных понятий: бесконечно малых, функции и переменной. Вопрос, можно сказать, шел о смысле выражения lim f(x): что значат в нем lim, f, х? Решался он именно в такой последовательности, противно логике. Коши изгнал мистические бесконечно малые, определив предел, далее последовало общее определение функции и, наконец, в начале 70-х гг. было дано определение вещественного числа х, более пригодное для теории, чем старое его определение как отношения любых величин, которое давал еще Омар Хайям. Но главным было все же не само по себе решение «загадки х», а создание Кантором в этой связи общей теории мно­жеств. Так загадки науки в своем решении влекут совершенно новые тео­рии, преобразуя всю науку в целом: в физике загадка — объяснить закон излучения абсолютно черного тела — повлекла квантовую теорию, а за­гадка опыта Майкельсона — теорию относительности.

Появление воображаемой геометрии выдвинуло вопрос о ее непротиво­речивости, который для геометрии Евклида, естественно, не ставился, поскольку ее основания представлялись очевидными и безусловно достой­ными признания: самое слово «аксиома» означает «достойное признания». Отсюда и из других внутренних вопросов математики пошло развитие аксиоматического метода, остававшегося без движения со времени созда­ния его греками. Вместе с этим методом свободное оперирование произ­вольными множествами дало общие приемы определения понятий матема­тики, позволившие охватить единым образом все ее сложившиеся и вновь возникающие объекты.

Согласно этой теоретико-множественной точке зрения, всякий предмет математики есть структура, т. е. множество каких-либо объектов с теми или иными отношениями между ними и подмножествами. (Функция уже включается в это общее понятие, если определить ее как множество упо­рядоченных пар.) При этом либо природа объектов и отношений остается вовсе не определенной и лишь фиксируются в аксиомах формальные свой­ства этих последних, как, например, в аксиомах группы, либо объекты и отношения определяются псевдоконструктивно, исходя из объектов и отно­шений, считающихся данными, как вещественное число определяется ис­ходя из рациональных, т. е. в конечном счете из целых чисел. Тот же псевдоконструктивный прием применяется для построения структур, слу­жащих моделями для структур, определяемых актиоматически, причем наличие такой модели принимается как свидетельство непротиворечивости аксиоматического определения и строящейся на нем теории.

Соответственно этому математика определяется как наука о любых возможных «чистых» структурах, возможных — в смысле логически мысли­мых, хотя бы в остальном лишь «воображаемых» и «мнимых», и «чистых» в том смысле, что их элементы и отношения не содержат ничего, кроме данного в самом определении этих структур [1]. Свобода теоретико-множест­венных определений дала основание Кантору сказать гордые слова: «Сущ­ность математики — в ее свободе!» Однако действительная свобода требует понимания необходимости, ибо иначе субъективно свободная деятельность может вести к неожиданным результатам или даже вовсе не осуществля­ется, оказываясь, тем самым, объективно вовсе не свободной. Так произо­шло со свободой, провозглашенной Кантором: вместе с грандиозными успехами она привела к парадоксам. Теоретико-множественная установка оказалась подорванной, и вместе с нею оказалось подорванным все строй­ное здание математики. В верхних его этажах шло энергичное строитель­ство: кирпичи теорем, соединяемые цементом логики, укладывались в рам­ки уже определившихся разделов и воздвигались каркасы новых теорий, но в теоретико-множественном фундаменте обнаружились расширяющиеся трещины парадоксов и под ними зыбучие пески и топи логических труд­ностей. Архитекторы и инженеры — логицисты, интуиционисты, эффекти­висты, конвенционалисты, реалисты, формалисты — выдвигали разнооб­разные проекты вплоть до разрушения существенной части всего здания, как предлагали поступить интуиционисты, в частности, с чистыми теоре­мами существования. Единство в понимании математики было утрачено и было заявлено, например, что для интуициониста математическая исти­на — в голове математика, а для формалиста — на бумаге.

Во спасение прекрасного здания математики Гильберт выдвинул свой проект подвести под него прочный фундамент формализации. Математика должна опираться на строго определенные правила оперирования с симво­лами, а так как сами эти символы, их комплексы — формулы и последова­тельности формул — суть достаточно определенные внешние предметы, то всякая зыбкость оснований будет исключена этой внешней предметной ясностью. Однако этот проект оказался неосуществимым; его собственное развитие привело к доказательству того, что никакая сколько-нибудь со­держательная часть математики не может быть полностью формализована, а для той, которая формализована, непротиворечивость не может быть доказана в рамках формализовавшей ее системы. Так не на философском, а на математическом уровне было установлено, что бесконечность не может быть полностью включена в конечное и что анализ и упрочнение основа­ний математики не имеет пределов, не может быть завершено. Оно оказы­вается столь же нескончаемым процессом, как воздвижение на этих осно­ваниях новых теорий. Но так же как это было с решением загадок матема­тики начала XIX в., главным последствием исследования оснований, математики в начале XX в. явилось развитие существенно преобразовав­ших математику новых теорий: математической логики [2], теории алгориф­мов, теории автоматов и связанной с ними теории математических машин, а также кибернетики с возникшими из других источников теориями инфор­мации, игр и др. В этих теориях в той же свойственной математике форме абсолютизированной идеализации исследуется прежде всего сама деятель­ность человека: возможности математического вывода и решения задач теми или иными данными средствами, передача информации, управление и др. В этом смысле математика стала гуманитарной наукой [3]. А появле­ние математических машин сделало ее наукой технической. Соответствен­но всему этому можно говорить о существенно новом этапе в развитии математики, оформившемся в 50-х годах.

[1] Это определение математики перефразирует то, которое было дано А. Н. Кол­могоровым в его статье «Математика» в первом издании БСЭ.

[2] Хотя математическая логика зародилась еще в 40-х гг. XIX в., она оставалась на границах математики и философии, но теперь стала действенной частью матема­тики со своими практическими приложениями.

[3] Суждение о математике как о гуманитарной науке и о том, что теоремы скорее изображают, чем открывают, я впервые слышал от А. А. Маркова уже довольно давно.

§ 2. Что такое математика

Современный этап в развитии математики не дает основания отказаться от ее определения как науки о возможных чистых структурах. Но как при переходе к теоретико-множественной точке зрения изменилось представ­ление о возможности и чистоте, т. е. о допустимых абстракциях, так оно изменяется и теперь при переходе к современным точкам зрения. Для уточнения мы воспользуемся принятой терминологией, различающей ма­тематику и метаматематику, хотя, как нам представляется, последняя и есть то, чем занимаются математики, и является поэтому собственно математи­кой. В указанной терминологии под математикой понимается совокупность формальных теорий, т. е. развиваемых по достаточно точно определенным правилам систем формальных выводов. При этом мы можем иметь в виду несколько различные уровни формализации; крайним представляется тот, который позволяет превратить теорию в определенным образом действую­щую машину. Но построение и исследование формальных теорий выходит за пределы математики в этом смысле и составляет предмет уже метама­тематики, так что можно сказать: «Метаматематика есть наука о матема­тике». Формальные теории сами по себе являются структурами, а другие структуры, входящие в сферу математики вообще и понимаемые с той или иной степенью содержательности на том или ином уровне абстракции, слу­жат предметом формализации либо для интерпретации формальных тео­рий. Разумеется, они остаются предметом математики в общем смысле.

То же представление о математике можно выразить более наглядно. Подобно тому как материальная техника извлекает из природы разнообразные материалы, преобразует и комбинирует их, создавая человеку сред­ства для овладения природой в практической деятельности, так и матема­тика, извлекая из природы путем абстракции свои первоначальные поня­тия, преобразуя и комбинируя их, создает средства для теоретического ов­ладения природой. Она может быть поэтому определена как «идеальная тех­ника». Такие ходячие выражения, как «математический аппарат кванто­вой механики» и т. п., совершенно ясно выражают это техническое значение математических теорий. Математика в общем смысле, или, говоря уже,— метаматематика, является, стало быть, наукой об этих математиче­ских аппаратах, и в этом смысле оказывается наукой технической. Как технические науки исследуют не саму по себе природу, а возможности ее использования человеком, так и математика исследует возможности чело­века — как мы можем решить ту или иную задачу. Как экспериментальная техника дополняет естественные органы человека своими аппаратами, по­зволяя проникнуть туда, куда эти органы не достигают, так математика дополняет естественную мыслительную способность человека своими аппа­ратами и позволяет строить теории других наук и решать задачи, не до­ступные ни воображению, ни непосредственному мышлению. Но так же как всякий эксперимент завершается тем, что человек воспринимает и затем интерпретирует показания приборов, так и применение математического аппарата необходимо завершается непосредственным восприятием и пониманием его результата. Математические машины представляют не что иное, как материальную реализацию тех же аппаратов математики.

Математика и зародилась как идеальная техника — техника счета, тех­ника решения практических задач измерения участков земли и др. Ариф­метика есть именно аппарат, созданный человеком путем абстракции из природы, практики понятий о числах и действий с ними. Для миллионов людей, которые пользуются арифметикой, она является таким аппаратом. То же демонстрирует возникновение анализа. Ньютон был вынужден изо­брести аппарат для выражения законов механики и решения ее задач: дифференциальное и интегральное исчисление и явилось таким аппаратом. Уже «изменение движения», о котором говорится в ньютоновской форму­лировке его второго закона, в точном значении означает производную от количества движения по времени, как определение движения по скорости или ускорениям требует интегрирования. Возникнув, анализ явился могу­щественным средством решения массы других задач и в свою очередь получал импульсы к развитию из физики. Напомним лишь один пример: обобщенные функции, которые в виде δ-функции были введены физиками до того, как математики создали теорию обобщенных функций. Из приме­ров, когда заготовленный внутри математики аппарат оказался решающим орудием развития физики, упомянем использование римановой геометрии в построении общей теории относительности; задач на собственные значе­ния — в создании квантовой механики; теории групп — в классификации спектров и в создании теории элементарных частиц. В познании этих глу­боко скрытых от нашего прямого восприятия и недоступных наглядному представлению областей природы роль математики становится особенно значительной и выступает с чрезвычайной отчетливостью. Физики сначала создают математическую форму теории, как они говорят — «математиче­ский формализм», и лишь потом начинают понимать его, что оказывается по большей части делом более трудным. Написание уравнений Шрёдингера и Дирака предшествовало пониманию их смысла, и до сих пор идут дискуссии об интерпретации квантовой механики среди тех, кто с успехом применяет ее математический аппарат в решении разнообразных конкрет­ных задач.

Современный этап в развитии математики в ее отношении к другим наукам характеризуется не только этим математическим конструированием новых физических теорий. Не меньшее значение имеет проникновение математики во все науки: в биологию, экономику и т. д., вплоть до фило­логии. Но в этом, пожалуй, нет ничего удивительного. Поскольку всякий предмет любой данной науки есть некоторая структура, то лишь только эта структура в каком-либо ее аспекте и части оказывается достаточно чет­ко определенной и фиксированные в ней отношения оказываются доста­точно богатыми, чтобы дать почву для ее исследования в качестве чистой структуры, как она, тем самым, уже входит в сферу математики. Матема­тика вырастает как универсальное средство всякой науки. Такой она была, впрочем, с самого начала, ибо ни одна наука не обходится без счета, но теперь дело идет о применениях математики не только в решении несрав­ненно более сложных задач, но и в самом формировании понятий и теоре­тических представлений той или иной науки, как это было уже давно в физике и в сравнительно недавнее время стало в экономике или лингви­стике.

Понимание математики как идеальной техники выясняет, далее, вопрос об истине в математике. Трудность его состоит в том, что идеальные объ­екты математики не только не сопоставляются в ней с действительностью, но и не имеют в этой последней достаточно точного прообраза. Достаточно вспомнить иррациональные числа, не говоря уже о таких вещах, как бес­конечные множества различных мощностей. Когда в аксиоматическом определении какого-либо предмета математики речь идет о некоем мно­жестве объектов «произвольной природы», то правильным оказывается афоризм Рассела, что «математика есть доктрина, в которой неизвестно, о чем мы говорим и верно ли то, что мы говорим». Решение проблемы состоит однако, попросту, в понимании того, что этой проблемы нет. Мате­матика создает свои аппараты, и бессмысленно говорить о том, истинны они или ложны: аппарат либо работает, либо не работает, а если работает, то либо продуктивно, либо плохо. Совершенно так же нелепо спрашивать: «Истинный это станок или ложный?»; станок просто есть, и осмысленным является вопрос о том, как он работает, на что он годится. Так и идеаль­ная техника математики с ее аппаратами просто есть, она существует как особая форма социальной действительности и работает в своей сфере не хуже материальной техники. Вопрос об истине встает лишь в примене­ниях математики, и ответ зависит уже не от нее самой, а от того, на­сколько правомерно данное ее применение. Конечно, сказанное упрощает и утрирует фактическое положение, так как от истины фактов, лежащих в началах математики, идет цепь переходов к формальной правильности ее абстрактных аппаратов.

Значение и оправдание математики заключается в ее применении, как я значение и оправдание техники. И как никто всерьез не занимается бесплодными техническими выдумками, так и в математике получают особенное развитие те направления, которые наиболее плодотворны в примене­ниях. Однако техника имеет свою необходимую структуру. В станке важна не только его непосредственно работающая часть, скажем резец: лучший резец ничего не даст без всего станка в целом. Никакое совре­менное производство не возможно без техники, обслуживающей его собственные нужды и обеспечивающей его нормальный ход. Аналогично, идеальная техника математики имеет свою структуру и без областей, обслуживающих ее собственные нужды, не может работать и развиваться сколько-нибудь удовлетворительно. Поэтому забота об одних приложениях подобна тому, как если бы в станке заботились только о резце или в про­мышленности — только о производстве предметов потребления. При такой заботе само это производство очень скоро пришло бы в упадок. Так же и забота о приложениях без должного внимания к опережающему развитию самой математики вела бы только к упадку развития науки.

Соответственно снятию вопроса об истине в математике решается во­прос о ее основаниях. Основания всякой науки лежат в самой отражаемой ею действительности, но поскольку предметом математики служат идеализированные объекты и обращение к опыту исключается из ее аргументов, то вопрос о ее основаниях или обосновании имеет особый характер н трудности. Теперь мы можем сказать, что этот вопрос касается общих принципов построения аппаратов математики. Аксиоматический метод является одним из них. Требования непротиворечивости можно понимать как то, что аксиоматически определенный аппарат вообще может работать. Из формального противоречия, как учит математическая логика, следует все что угодно, а для аппарата это бессмысленно. Вместе с тем уже вовсе не представляется необходимым, чтобы аппарат работал по правилам обыч­ной формальной логики. В принципе не видно причин, почему правила его работы — правила вывода — не могли бы быть совсем другими, вроде того как машина может быть не механической, а построенной на иных принципах, лишь бы она работала продуктивно. Фактически на место прежнего логического монизма математики, требовавшего обычной фор­мальной логики, сложился логический плюрализм с разными логиками: обычной формальной, конструктивной, минимальной, многозначной и др. Точно так же исследуются и принимаются или отклоняются разные уров­ни абстракции — от абстракции актуальной бесконечности в классическом Духе Кантора до ультраинтуиционистского взгляда, допускающего лишь ограниченные множества целых чисел. Теперь представляется совершенно ясным, что, как уже было сказано выше, исследование и развитие мате­матики не имеет конца, как не вообразим какой-то конец развития тех­ники, когда все возможные принципы, приемы и возможности ее создания будут установлены и останется разве лишь задача их разнообразного во­площения.

Острота прежних споров разных направлений в математике представ­ляется чрезмерной, если посмотреть на них с более широкой точки зрения. Есть разные уровни абстракции, разные уровни строгости и даже разные логики, есть строгость на уровне инженера, физика, простого или утонченного математика и, наконец, специалиста по математической логике. Но даже эта последняя не является абсолютной. В обычном изложении оснований геометрии для университетов аксиоматика Евклида изображает­ся негодной, а аксиоматика Гильберта идеальной. Однако это не верно, так как у Гильберта подразумевается теоретико-множественная позиция, сама подверженная критике и нуждающаяся в выяснении ее оснований. Такой же наивной претенциозностью является распространенная манера говорить о совершенной строгости университетского курса анализа, третируя курс для инженеров или анализ времени Эйлера как не­строгие. Конечно, строгость на уровне Вейерштрасса — Кантора, принятая в нынешних курсах анализа, выше строгости Эйлера, она выше в «Осно­ваниях геометрии» Гильберта, чем у Евклида. Но все это лишь ступени в развитии строгости математики.

Точно так же разные уровни абстракции и разные подходы к основа­ниям математики — только ступени в их углубляющемся движении. Когда один подход выхватывается из общей связи развития и выдвигается как единственно правильный, он извращается и доходит до заблуждении. Конечно, алгорифмическое решение глубже и сильнее чистой теоремы существования, но едва ли надо верить, что теория алгорифмов сама не может быть подвергнута критике и не потребует уточнения ее основ. И едва ли нужно вовсе опорачивать абстракцию актуальной бесконечности, чистые теоремы существования, доказательства с аксиомой выбора, если пользоваться ими с пониманием ограниченности их значения. К тому же мы понимаем, что всякое существование в математике условно, так как оно есть существование идеализированного объекта. Математическая ма­шина, конечно, безусловно существует, но это уже не идеальная, а мате­риальная техника.

Лет 20 назад происходила довольно жаркая дискуссия вокруг теоретико-множественной установки, которая выдвигалась как столь адекватное отражение действительности, что бесконечным множествам приписывалось реальное существование, независимое от человека: «Континуум есть некая реальность и он должен находиться где-то на шкале алефов». Решитель­ные возражения против такого взгляда оказались правильными: возмож­ны разные теории множеств, с разными положениями континуума на шкале мощностей. Не так ли казалось, что евклидова геометрия — единственно возможная и что постулат о параллельных должен быть верным? Однако возможны разные геометрии, и постулат о параллельных не обязан вы­полняться во всех случаях, и это стало теперь общеизвестным трюизмом. Таким же трюизмом станут современные достижения в основаниях мате­матики, а за ними последуют новые и т. д., и т. д. Тем более останутся и будут исследоваться глубокие проблемы сущности математики, но они принадлежат уже не ей самой, а науке о познании, гносеологии, которая именно в настоящий период формируется уже не как область философии, а как конкретная наука.

Так математика предстает перед нами в ее развитии от физики конеч­ных совокупностей до современного ее состояния и дальше в том же непре­станном развитии, идущем в накоплении новых результатов и изобретении новых методов уже определившихся разделов, в создании новых теорий и восхождении к новым абстракциям, в расширении сферы охвата, в совершенствовании скрепляющей ее логики и углублении ее оснований — во всем этом процессе производства все более совершенных и мощных аппа­ратов для овладения действительностью.

§ 3. Некоторые существенные аспекты развития математики

Мы хотели бы обратить внимание на некоторые моменты в развитии математики, едва лишь намеченные в предыдущем изложении, и рассмот­реть их более конкретно, хотя по необходимости суммарно. Начнем с аксиоматического метода.

Утверждение типа «через всякие две точки проходит прямая» выражает в первоначальном смысле закон природы [1]. В развитии геометрии это утверждение вместе с другими было положено в основание ее дедуктив­ного построения и в таком качестве выступает как аксиома. Таким обра­зом, одно утверждение получает две стороны и как бы раздваивается: одной стороной, как закон природы, оно опирается на опыт, другой — как аксиома — служит опорой теоретического построения. Аналогично основ­ные положения механики являются в исходном своем содержании ее за­конами, но, с другой стороны, берутся и как ее аксиомы. Цель и идеал аксиоматического метода состоят в том, чтобы строить теорию чисто дедук­тивно, опираясь только на утверждения, принятые в качестве аксиом, и вовсе не обращаясь ни к опыту, ни к наглядному представлению. Иначе говоря, задача его состоит в том, чтобы вовсе отделить аксиоматическую сторону исходных утверждений от их эмпирической стороны, наглядно говоря,— отрезать одну от другой и оставить нижнюю, эмпирическую, в стороне. Однако, говоря на том же наглядном языке, отрезанная верхняя часть будет иметь свой низ и будучи снятой с эмпирического основания повиснет в воздухе. Эта картина, как мы сейчас покажем, довольно точно изображает историю аксиоматического метода.

Пока не появились неевклидовы геометрии, отделения аксиом от эмпирии и тем более от наглядного представления по сути и не происхо­дило. Аксиомы и аксиоматический метод понимались содержательно, так же как это имеет место, например, при аксиоматическом построении ста­тики и т. п. За результатом дедуктивного вывода сохранялось достоинство объективной истины. Хотя, например, несоизмеримость отрезков эмпири­чески не проверяема, но, насколько можно судить, никто не рассматривал ее как одно лишь построение ума, не касающееся реальности. Появление разных геометрий, само имевшее источник в исследовании аксиом геометрии именно в качестве аксиом, подорвало это убеждение. Сами аксиомы стали условными. На помощь были привлечены модели, которые прида­вали выводам разных геометрий то же достоинство истин, хотя и в более расширенном смысле: уже делом выбора стало относить геометрические факты внутри круга к геометрии Евклида или Лобачевского.

Теоретико-множественная установка придала аксиоматическому методу абстрактную форму, отвлекая аксиомы от всякого содержания, кроме того, что они вообще относятся к множеству каких-то объектов. Здесь, казалось, идеал аксиоматического метода был достигнут: эмпирия и связанное с нею содержание были оставлены вовсе. Но тогда, как это выразил Рассел, стало неизвестно, о чем мы говорим, а потому также неизвестно, верно ли то, что мы говорим. Короче, осуществление идеала аксиоматического метода превратило его в бессмыслицу. Конечно, оставались доказательства непротиворечивости посредством моделей, но если сами эти модели опре­делялись аксиоматически, для них имело место то же положение, они должны были поэтому пониматься содержательно, и в конечном счете основание их обращалось к опыту. Однако применение теоретико-множест­венной установки вело к выводам, содержательное понимание которых оказалось невозможным, они были нереальны, если не верить в ту «транcцентную реальность» любых бесконечных множеств, которую принимал сам Кантор. Понятие множеств любой мощности, неизмеримых множеств и т. д. уходили слишком далеко. К тому же свободное оперирование с множествами приводило к парадоксам. Идеал аксиоматического метода в его теоретико-множественном осуществлении расшатывался.

Тогда было осознано — и это было подготовлено уже начавшимся paзвитием математической логики,—что само представление, будто теория строится на одних аксиомах, неверно по той простой причине, что строится она посредством рассуждений и что, стало быть, ее построение зависит от их логики. Поэтому для действительно аксиоматического построения тео­рии нужно включить в ее аксиомы применяемые правила образования осмысленных в теории утверждений, правила допустимых определений и пра­вила вывода. В таком виде аксиоматическая теория уже ни к чему не от­носится— ни к эмпирии, ни к множествам; она сама есть реально опреде­ленная и столь же, в принципе, реально развиваемая последовательность формул, т. е. внешних предметов.

Так аксиоматический метод приобрел новую форму — логико-матема­тическую. В этой форме он, как сказано, действительно отделился от исходной сферы опыта и от всякого содержания. Но это удалось только потому, что он сделал самое теорию предметом материальной деятельности, превратив ее в выведение формул, а рассуждения о них ведутся в том же примерно духе, как мы рассуждаем о формулах в элементарной алгебре или о фигурах в шахматной игре. Сама формализованная теория стала содержанием математических рассуждений, особого рода «внешним предметом». Наконец, «машинная математика» позволяет, хотя бы в прин­ципе, передавать такое развитие теорий машинам, и здесь они переходят в материальную действительность, из устремлений отрыва от которой они сами выросли. Но они переходят в нее здесь уже не в качестве ее отра­жения, а в качестве самой действительности. Машина есть материальный объект, ее работа есть материальный процесс, он есть, и поэтому нет во­проса о его обосновании и пр. Вопрос идет уже о том, чтобы машина ра­ботала, и если работает, то давала бы продукт, которым мы можем разумно воспользоваться.

Таким образом, данный обзор аксиоматического метода раскрывает внутреннее противоречие в самой его цели, заложенное в раздвоении еди­ного утверждения на эмпирическое и аксиоматическое. Мы могли также убедиться, что указанное противоречие служило внутренним основанием развития аксиоматического метода.

Уже давно высказана была мысль, что математика — речь шла о ма­тематике 1930-х годов — слагается из алгебры и топологии. В частности, анализ есть не что иное, как теория отображений локально бикомпакт­ных, связанных, коммутативных полей или их декартовых произведений. Не вдаваясь в обсуждения того, насколько и в каком смысле указанная общая точка зрения может быть применена к современной математике, мы во всяком случае должны признать за нею серьезные основания. Обра­тимся, однако, к истокам. Мы обнаруживаем в материальной действитель­ности две общие и взаимно противоположные формы существования: дис­кретность и непрерывность, отдельные целые предметы, перестающие быть самими собой, если их делить на части, и такие предметы или среды, ко­торые не разделены на части, но достаточно легко делятся, не переставая быть тем же самым. (Эти общие формы возникали в деятельности древних людей в виде, например, топоров и стрел, делить которые значило ломать, и в виде воды или зерна в его массе, которое легко делить.) Обращение с дискретными предметами породило счет — арифметику; непрерывность осваивалась главным образом в ее пространственном виде, откуда пошла геометрия. Алгебра является развитием арифметики и имеет дело с такого же рода абстрактными структурами, в ней математика исследует дискретное. Топология же и есть общее математическое учение о непрерывности, или, как принято теперь говорить в математике, о связности.

Геометрия начиналась, насколько можно судить, с измерения. Измере­ние есть не что иное, как применение дискретного к непрерывному. Так, непрерывное расстояние измеряется шагами, которые считают. Целых чисел оказалось недостаточно, и именно из потребности измерения возникли дро­би. Так развитие понятия о числе началось с взаимодействия дискретного и непрерывного. Углубление греков в природу непрерывного привело к атомистической концепции: непрерывная величина представлялась со­стоящей из ничтожно малых частиц, которые в принципе можно считать. (Это послужило у Демокрита созданию прообраза интегрального исчисле­ния суммированием тонких слоев.) Соответственно всякая величина изме­рялась рациональными числами. Число было рациональным. Открытие несоизмеримых отрезков опрокинуло геометрический атомизм. Непрерывность предстала в своем своеобразии и послужила предметом глубоких философских рассуждений и математических построений; на месте атомизма была создана теория отношений. Но сами отношения не были осо­знаны греками как числа. Этот громадный интеллектуальный шаг был совершен позже в Индии.

В эпоху формирования анализа атомизм возродился снова у Кавальери и др.; непрерывное мыслилось состоящим из дискретных, хотя и бесконеч­но малых величин. Но идущая от Ньютона точка зрения чистой непрерыв­ности возобладала, актуально бесконечно малые были изгнаны и, напри­мер, у Римана пространство определяется как протяженность; оно не состоит из точек, хотя в нем можно отмечать или выделять точки. Но углубление в понятие «протяженности», «непрерывной переменной х» привело к представлению о них как о множествах точек или чисел. Непре­рывное опять было сведено к дискретному, хотя и в гораздо более тонком смысле. Это же дало теорию вещественного числа, так что движение этого понятия и тут было связано с взаимоотношением дискретного и непрерыв­ного. В той же связи осуществлялась «арифметизация» математики.

Однако трудности теории множеств вызвали реакцию, и снова была выдвинута чистая непрерывность, не сводимая к множеству отдельных элементов. Континуум — это среда, в которой математика вылавливает вы­числимые числа. Представляется понятным по самой природе вещей, что непрерывное не сводимо к дискретному. В эмпирическом смысле, как ука­зал еще Пуанкаре, оно означает переход через равенства к неравенству: А = A₁, А₁=А₂, … , Аₙ = В, но А≠В. Это при наших математических привычках представляется нелепым. Но посмотрите на стрелку ваших ча­сов: она стоит на месте и все же меняет его. Математика и вырабатывает аппараты для более совершенного овладения природной непрерывностью, бесконечностью, неопределенностью посредством дискретного, конечного, определенного. Греческий атомизм и теория отношений, классическая тео­рия вещественных чисел, теория вычислимых чисел и т. п.— только ступе­ни в движении математики.

Отметим некоторые моменты этого общего движения. Мы уже имели случай упомянуть важные достижения индийской математики. Первое — создание современной системы счисления с нулем. Главным здесь было именно изобретение обозначить особым знаком отсутствующий разряд. Его нет; но само его отсутствие было представлено как наличие «ничего», которое хотя и есть ничто, но получило обозначение. Мы настолько при­выкли к написанию 103 и т. п., что не замечаем этого совершенно особен­ного, глубочайшего шага мысли, который был здесь совершен. Мы поймем это лучше, если осознаем, что никто из греков, даже гениальный Архимед, не смог сделать этого шага. Нетривиальность его блестяще выражена в афоризме Дирака, высказанном им в связи с «теорией дырок» (теория позитрона): «Ничто, помещенное во что-нибудь, вполне эквивалентно чему-нибудь, помещенному в ничто».

Второе достижение индийской математики — введение отрицательных чисел. Одним из конкретных его источников было сопоставление налич­ности и долга. Здесь даже нечто худшее, чем отсутствие величины, было осознано как величина, хотя и совершенно противоположная отсутствую­щей, но вместе с тем входящая с нею в общую систему и в этом смысле — величина того же ряда. Третьим достижением было введение иррациональ­ных чисел. Отсутствие численной меры отношения, когда величины несо­измеримы, было представлено как то, что все же можно понимать как число, с которым можно производить вычисления. Такие операции, как освобож­дение от иррациональности в знаменателе и др., начали осуществляться индусами.

Распространенное утверждение, будто античная математика была нау­кой о постоянных величинах, несомненно ошибочно, хотя бы потому, что греки вычисляли таблицы тригонометрических функций для нужд астро­номии. Они изучали движение, но не вообще движение, а данное — дви­жение небесных светил. Так же они изучали функции, но не вообще, а конструктивно заданные, как, скажем, синус. Заслуга Ньютона, Лейбница и их предшественников состояла поэтому не в том, что они стали рассмат­ривать переменные и функции, а в том, что они сделали предметом мате­матического исследования любые функции; любые, конечно, в рамках их представлений — в современном смысле их можно понимать как любые аналитические. Это соответствовало тому, что механика сделала своим предметом не одно движение небесных тел, но движение вообще. Для гре­ков это лежало вне математики, кривые, не заданные геометрическим построением они называли механическими. Превращение этих нематема­тических кривых в математические и было главным идейным шагом в со­здании анализа.

Упоминая в § 1 о выяснении смысла мнимых чисел, мы уже употреби­ли такую его характеристику, как превращение их из мнимых в действи­тельные в смысле вполне обоснованного понятия и действительного сред­ства не только в самой математике, но и далеко за ее пределами. Доста­точно вспомнить, что знаменитая ψ-функция квантовой механики комплекснозначна. Подобное явление в еще более яркой форме видно в созда­нии неевклидовой геометрии. Лобачевский восстановил понимание связи геометрии с физикой и на этой основе пришел к убеждению возможности своей «воображаемой» геометрии. Но именно создание этой геометрии повлекло ясное разделение геометрии как части математики и как части физики, исследующей свойства реального пространства. Вместе с тем «во­ображаемая» геометрия оказалась затем вовсе не воображаемой, а имею­щей простой смысл, ничуть не менее реальный, чем евклидова планимет­рия. Можно еще вспомнить, что пространство скоростей в теории относи­тельности есть пространство Лобачевского.

Бесконечность по исходному представлению и понятию есть то, что не может быть исчерпано и охвачено как нечто целое и завершенное. Она выпадала поэтому из логики. Гениальность Кантора состояла именно в том, что он имел интеллектуальную смелость допустить мысль о бесконеч­ности как о чем-то данном, целом, завершенном. Стоило только помыслить натуральный ряд в таком виде, как за ним сама собою ставится ω, и раз­ворачивание ординальных трансфинитов не составляет уже ничего особен­ного. Стоило также принять, как доступное логике, то уже давно изве­стное, но казавшееся противоречием, алогизмом свойство бесконечных мно­жеств, что в них «целое равно части», и найти различие счетного и не­счетного, как различение мощностей уже напрашивается как бы само со­бою. Кстати, само по себе доказательство несчетности континуума проще простого. Сущность теории Кантора в подчинении бесконечного логике конечного. Однако бесконечное все же бесконечно в смысле исчерпываемости, в смысле невозможности исключить из всей его сферы всякое про­тиворечие. Простейшая бесконечность — натуральный ряд — не охваты­вается никакой формальной теорией. Здесь так же, как в случае непре­рывности, движению математики не видно конца: она все глубже исчер­пывает в своих теориях бесконечность, но процесс этот бесконечен, ибо бесконечное и есть то, что неисчерпаемо.

[1] Иная формулировка — «через каждые две точки можно провести прямую» — выражает объективные возможности деятельности человека и, стало быть,— также объективный закон.

§ 4. Диалектика и математика

В рассмотренных только что моментах развития математики бросается в глаза общая их черта: установление «тождества противоположностей». «Ничто» противоположно «чему-то», но в форме отсутствия данного раз­ряда оно изображается как «нечто» — нуль; оно есть «определенное ничто» и именно поэтому есть также нечто определенное. Отношение, не вырази­мое никаким числом, определяется как число. Нематематические функции превращаются в математические. Невозможная геометрия осознается как возможная. Бесконечность, не мыслимая как завершенная, мыслится как завершенная. Это и есть диалектика, есть переход в противоположность, изменение понятия вплоть до отождествления противоположностей, осознание полного отрицания как в некотором смысле «того же самого», как отрицательное число есть тоже число.

Другие кардинальные моменты истории математики, если бы мы имели место здесь рассматривать их, демонстрируют то же самое. Они и были кардинальными, потому, что то, что казалось в принципе не доступным математике, иррациональным, мнимым, невозможным, не выразимым в точных понятиях, не подвластным логике, превращалось в рациональное, действительное, возможное, выразимое в точных понятиях и подвластное логике; и оно включалось в систему математики не как нечто инородное, чуждое, влекущее противоречия, а как ее неразрывно связанная с уже наличными, жизнеспособная и действительная часть.

Когда говорят: «Диалектика в математике не нужна — я доказываю теоремы без диалектики», то во второй части фиксируют несомненный факт, ибо доказательство следует достаточно формальному пути и иначе не есть математическое доказательство. Но так же шофер, ведущий машину, не пользуется теорией тепловых двигателей, ни какой бы то ни было , частью теории автомобиля. Он также может гордо заявить, что ему все эти теории не нужны, он и без них обходится прекрасно. Но он упускает из виду, что для того, чтобы он мог «без них обходиться», именно эти теории и нужны — без них автомобиль был бы по меньшей мере плох. Так же и те, кто из ненадобности диалектики в доказательствах заключают, что она вообще ни к чему, упускают из виду, что они могут доказы­вать свои теоремы только потому, что область понятий, к которой эти теоремы относятся, была когда-то определена, и что этот процесс определения новой области науки, формирования принципиально новых понятий вовсе не формальный, но тем не менее имеет свою, хотя и более трудную и глубокую логику. Эта логика — логика изменения понятий в соответствии с задачами познания — и есть диалектика. Поэтому утверждения о ненужности диалектики, философии и прочее есть не более как та же самодовольная некультурность, какую проявляет иной неразвитый «рабо­тяга», чванящийся тем, что «все эти теории ему не нужны». Мы можем отметить тот исторический факт, что почти все действительно великие ма­тематики были философами-мыслителями [1].

Теперь, идя по § 2 от конца к началу, мы вспоминаем сказанное о взаимодействии абстракций дискретного и непрерывного, о роли этого взаимодействия в развитии понятия числа и фундаментальных теорий математики. Это была «борьба противоположностей», составлявшая внутренний импульс развития математики. Она начиналась с применения дискретного к непрерывному в измерении. Далее непрерывное было сведено к дискретному в атомизме, но именно через неограниченное мысленное про­должение измерения выявились несоизмеримые величины. Измерение пришло к собственному отрицанию. Не прослеживая здесь снова дальней­ший процесс, отметим только, как теоретико-множественная точка зрения сама в своем развитии вызвала свое собственное отрицание.

Аналогичное обнаруживается в развитии аксиоматического метода. Раздвоение единого утверждения на эмпирическое и аксиоматическое, закон и аксиому, устремление отделить эту последнюю от ее основания было внутренним противоречием в самой идее аксиоматического метода, которое, как мы видели, толкнуло его развитие во взаимодействии с влия­ниями, шедшими из других сфер математики. В этом движении аксиома­тического метода мы видим переходы в противоположность. От исходного содержательного понимания происходит переход к теоретико-множествен­ному с отрывом от содержания и, тем самым, от опыта. Но так аксиома­тический метод теряет смысл и основание и потому необходимо возвра­щение к содержательному пониманию, к самой материальной действи­тельности, но уже совершение иным образом. Сама формальная теория становится содержанием математического рассмотрения и она же в виде переданной на машину оказывается самой объективной действительностью, материальным процессом, хотя и не природным, а созданным чело­веком. Происходит «отрицание отрицания», как оно происходило в пере­ходах от атомизма к чистой непрерывности, от нее к атомизму бесконеч­но малых, от него опять к чистой непрерывности и т. д. Тот же процесс мы могли констатировать в отношении формальной установки Гильберта: его собственная теория доказательства побудила ту работу Геделя, кото­рая доказала невозможность реализации гильбертовской программы.

Наконец, противоречие содержится в самой сущности математики, определяемой абсолютизацией ее абстракций. Возникнув из практики, как физика, она превратилась в чистую математику, имеющую своим предме­том идеальные объекты и исключающую аргумент опыта. Однако отобра­жение в понятии даже малейшего элемента действительности никогда не бывает полным, абстракция выхватывает некоторый, пусть существенный и общий, но все же только некоторый аспект. Поэтому абсолютизированная абстракция неизбежно содержит в себе элементы, каких нет в действи­тельности, и вместе с ними момент заблуждения, тем более, что она абсо­лютизируется. Достаточно подумать об абсолютизации ньютоновской меха­ники, как нам представится страшная картина полного вырождения физики. Поэтому математика не может существовать сама по себе, она иначе могла бы превратиться, если не целиком, то хотя бы в заметных частях, в игру ума. Поэтому «чистая» математика находит источники своего содержания и значения только в переходах ее в «прикладную» и обратно. Иначе гово­ря, она отрицает себя как чистую и только через такое постоянное отри­цание и отрицание этого отрицания оказывается жизненной, оказывается мощным орудием человека. Там, где она опережала физику, она давала этой последней свой готовый аппарат, результаты применения которого возвращались к ней обратно сильнейшими импульсами развития.

Абсолютизация абстракций естественно превращает их в основание для восхождения к новым абстракциям и т. д. Это свободное движение математики порождает внутри нее новые понятия, но оно так же таит в себе трудности и даже опасности, как представляло трудность понимание комплексных чисел и привело к опасностям развитие теории множеств. Именно в этих пунктах трудностей и противоречий возникали при их раз­решении дальнейшие импульсы к развитию, как мы могли это, хотя бы очень бегло, проследить в § 1 на примере загадок математики начала XIX в. Та же абсолютизация абстракций с ее отрывом от опыта ставит особым образом весь комплекс вопросов, касающихся оснований мате­матики.

Словом, как мы уже имели случай сказать, «нет ничего абсолютно абсолютного», и потому математика в своем существе содержит противо­речие, содержит свое собственное отрицание как науки, которое постоянно разрешается и преодолевается в процессе ее внутреннего развития, в ее взаимодействии с другими науками и практикой. Если мы понимаем ее теперь как «идеальную технику», то, можно сказать, она и развивается как техника в ее применении к производству продуктов потребления и машин, обслуживающих другие области, в своих внутренних потребностях совершенствования. Она есть могущественное и универсальное орудие дознания и решения задач всюду, где выявляются достаточно четко опре­деленные структуры. Но само выделение таких структур, так же как фор­мирование новых принципов математики, выходит за пределы ее собствен­ных методов, подобно тому как существенные, революционизирующие преобразования техники имеют источники вне нее. Если математика абсо­лютизирует свои абстракции, то прежде чем быть закрепленными, они должны быть образованы, а именно это и есть самое трудное и важное в развитии теоретического познания.

Таким образом, самое математику обусловливает более первоначаль­ный, фундаментальный и более универсальный метод теоретического сознания — диалектика, логика образования новых понятий, логика, в частности, формирования и общего исследования аппаратов — понятий, формальных теорий математики. «Всесторонняя, универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей,— вот в чем суть. Эта гибкость, примененная субъективно, = эклектике и софи­стике. Гибкость, примененная объективно, т. е. отражающая всесторон­ность материального процесса и единство его, есть диалектика, есть пра­вильное отражение вечного развития мира». Так писал В. И. Ленин [2].

Но: «Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить дви­жения, не прервав непрерывного, не упростив, углубив, не разделив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление,— и не только мыслью, но и ощущением, и не только движе­ния, но и всякого понятия. И в этом суть диалектики. Эту-то суть и выра­жает формула: единство, тождество противоположностей» [3].

В тем большей степени происходит упрощение, огрубление, разделение, когда абстрактное понятие закрепления, абсолютизируется, и потому тем больше необходимость его уточнения, изменения, усовершенствования, раз­вития,— необходимость отрицания его как закрепленного и восхождения через объективную гибкость мысли к новым и более совершенным поня­тиям.

Вместе с тем: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит, если оно правильное (NB),… от истины, а подходит к ней. Абстракция материизакона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом, все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее» [4]. «Познание есть отражение человеком природы, но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования образования поня­тий, законов etc., каковые понятия, законы etc. (мышление, наука = „ло­гическая идея”) и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы… Человек не может охватить = отразить = отобразить природы всей, полностью ее «непосредственной цельности», он может лишь вечно приближаться к это­му, создавая абстракции, понятия, законы, научную картину мира и т. д, и т. п.» [5].

Так математика, в нескончаемом процессе формирования ее абстрак­ций и создания ее аппаратов, позволяет охватывать природу познанием все глубже, вернее и полнее. Понимание диалектики ее движения практически важно, в частности, для того, чтобы не делать фетишей из отдельных его моментов и направлений, а видеть их условность, ограниченность, необхо­димую взаимосвязь и переходы в общей связи и развитии математики. Об этом мы уже говорили в конце § 2. Все споры «чистых» математиков в прикладников о том, кто важнее, споры сторонников актуальной беско­нечности и ее противников, канторианцев и ультраинтуиционистов и т. д.- все это только непосредственно жизненное проявление борьбы противопо­ложностей в развитии математики. Если стороны не страдают непонима­нием диалектики, их спор оказывается более продуктивным, ведет к взаим­ному обогащению и общему развитию, иначе они расталкиваются и только закрепляются во внешнем противоречии. В таком виде всякий оттенок понимания математики легко обращается в заблуждение, в метафизику, в идеализм. Примером может служить интуиционизм, который в его тол­ковании математики оказался субъективным идеализмом. Однако более рациональное понимание оснований и устремлений интуиционизма приве­ло к интерпретации интуиционистской логики как логики задач и потом к «конструктивной установке» с ее конкретными математическими резуль­татами без всякого идеализма.

«Философский идеализм есть только чепуха с точки зрения мате­риализма грубого, простого, метафизического. Наоборот, с точки зрения диалектического материализма философский идеализм есть одностороннее, преувеличенное развитие (раздувание, распухание) одной из черточек, сторон, граней познания в абсолют, оторванный от материи, от природы, обожествленный» [6]. Конвенционализм Пуанкаре, интуиционализм Брауэра и др.,— это лишь преувеличенное, одностороннее развитие отдельных сторон математики, как условность ее аксиом, абсолютизированная Пуан­каре, или также превращенная в абсолют Брауэром интуитивная ясность построения натурального ряда прибавлением единиц в отличие от интуи­тивной неясности актуальной бесконечности.

Возвращаясь к определению В. И. Лениным сути диалектики, приведем следующие его примечательные слова, которыми начинается его краткая, но необычайно богатая мыслями заметка «К вопросу о диалектике». Ленин писал: «Раздвоение единого и познание противоречивых частей его есть суть (одна из „сущностей”, одна из основных, если не основная, особен­ностей или черт) диалектики. Так именно ставит вопрос и Гегель… Пра­вильность этой стороны содержания диалектики должна быть проверена историей науки. На это сторону диалектики обычно (например, у Плехано­ва) обращают недостаточно внимания: тождество противоположностей бе­рется как сумма примеров [„например, зерно”; «например, первобытный коммунизм». Тоже у Энгельса. Но это «для популярности»…], а не как за­кон познания (и закон объективного мира)» [7]. Данная работа представля­ет собой некоторое выполнение сказанного В. И. Лениным: доказать пра­вильность сути диалектики историей науки, в данном случае — матема­тики, и показать, что и «тождество и борьба» противоположностей в ма­тематике есть закон ее движения и, стало быть, закон познания. Мы так­же старались показать, что общие понятия диалектики представляют хо­рошее средство общего описания и выявления закономерностей развития математики. Понятно, мы не могли все это сделать с достаточной полно­той. Но думается, нам все же удалось показать, насколько глубоко видел Ленин задачи теории познания, насколько и здесь он был прав.

[1] Начало греческой математики связано особенно с именами Фалеса, Пифагора, Демокрита; создание анализа обязано Декарту, Лейбницу, Ньютону (которого лишь по незнанию его сочинений не оценивают как философа-мыслителя); далее можно назвать Лобачевского, Римана, Кантора, Пуанкаре, Брауэра, Гильберта, Винера и др.

[2] В. И. Ленин, Сочинения, изд. 5, т. 29, стр. 99.

[3] Там же, стр.

[4] Там же, стр. 152.

[5] Там е, стр. 163-164.                                                                                                                                                                                                                                                                                                   источник

1
Share and Enjoy:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • MySpace
  • FriendFeed
  • В закладки Google
  • Google Buzz
  • Яндекс.Закладки
  • LinkedIn
  • Reddit
  • StumbleUpon
  • Technorati
  • Twitter
  • del.icio.us
  • Digg
  • БобрДобр
  • MisterWong.RU
  • Memori.ru
  • МоёМесто.ru
  • Сто закладок
5 1 голос
Рейтинг статьи

Просмотров: 224

+1

Spread the love
  •  
  •  
  •  
  •  
  • 14
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
    14
    Поделились
Previous Article
Next Article
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии

Переводчик Google

поддержка

Последние сообщения на форуме

[Правда 1950]: О борьбе против пе … Рассуждать сегодня о “пережитках” капитализма тем сподручнее, что … Читать далее
Руководить со знанием дела [Правда 1950]: Руководить со знанием дела В статье секретар … Читать далее
Ленин: взгляд из XXI века Ленин: взгляд из XXI века Сейчас зачастую нас тянет на ностал … Читать далее

Авторы

error

Enjoy this blog? Please spread the word :)

0
Оставьте комментарий! Напишите, что думаете по поводу статьи.x
()
x
%d такие блоггеры, как: